基本不等式公式

基本不等式是數學中描述兩個數或兩個量之間不等關系的重要工具。以下是一些基本不等式的公式：

1. **算術平均數-幾何平均數不等式 （AM-GM不等式）** :

$$

\\frac{a+b}{2} \\geq \\sqrt{ab} \\quad （a, b > 0）

$$

等號成立當且僅當 $a = b$。

2. **柯西-施瓦茨不等式 （Cauchy-Schwarz Inequality）** :

$$

\\left（\\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\\right）^2 \\leq \\left（\\sum_{i=1}^{n} a_i^2\\right） \\left（\\sum_{i=1}^{n} b_i^2\\right）

$$

等號成立當且僅當存在常數 $\\lambda_i$ 使得 $a_i = \\lambda_i b_i$ 對所有 $i$ 成立。

3. **三角不等式 （Triangle Inequality）** :

$$

|a + b| \\leq |a| + |b|

$$

等號成立當且僅當 $a$ 和 $b$ 同號。

4. **四平方和不等式 （Cauchy-Schwarz Inequality for four squares）** :

$$

a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \\geq \\frac{1}{2}（ab + ac + ad + bc + bd + cd）

$$

等號成立當且僅當 $a = b = c = d$ 或 $a = -b$，$c = -d$。

5. **排序不等式 （Rearrangement Inequality）** :

$$

a_1b_1 + a_2b_2 + \\ldots + a_nb_n \\geq a_1b_2 + a_2b_1 + \\ldots + a_nb_1

$$

等號成立當且僅當 $a_1 \\geq a_2 \\geq \\ldots \\geq a_n$ 且 $b_1 \\geq b_2 \\geq \\ldots \\geq b_n$。

這些不等式在數學分析、優化問題、概率論等地方有著廣泛的應用。

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